Les ondes stationnaires

SOMMAIRE

• Introduction aux ondes stationnaires
  
• Animation java
  
• Onde stationnaire résonante
  
• Exemples d'ondes stationnaires
  
• Liens et bibliographie

         Lorsqu'un train d'onde de type quelconque est produit dans un milieu fini, il se propage jusqu'à ce qu'il rencontre la frontière du milieu où une certaine fraction de l'énergie de l'onde se réfléchit. Si la perturbation est entretenue, le milieu s'emplit des ondes qui se propagent dans un sens et dans l'autre. Dans le cas d'ondes planes progressives monochromatiques, elles se superposent, c'est à dire interfèrent pour ne former qu'une seule onde, appelée onde stationnaire.

     Le principe de superposition montre que l'onde résultante s'écrit :
Y _s(x,t) = Y _i(x,t) + Y _r(x,t) = A.sin(kx-wt) + r.A.sin(kx+wt)       où r est le coefficient de réflexion en amplitude.

         Pour ne pas alourdir les calculs, nous considérons ici "r" réel, c'est à dire que nous omettons le fait qu'il puisse y avoir un déphasage de l'onde réflechie par rapport à l'onde incidente lors de la réflexion. En effet, dans le cas général, "r" est complexe et son argument représente le déphasage ( qui est par exemple de 180° dans le cas d'une réflexion dure).

        - Si r = 1 (réflexion totale) on a      Y _s(x,t) = 2A.cos(wt) .sin(kx)      l'onde est stationnaire
     les termes spatiaux et temporels sont découplés, l'onde semble stationner, l'energie ne se propage plus.

        - Si r < 1 l'onde est dite quasi-stationnaire, et on définit un taux d'onde stationnaire ( TOS = ( 1 + r ) / ( 1 - r ) ).

Ce phénomène est fréquent : dans chaque type d'instrument de musique , dans une cavité laser dans la bouche lorsque nous parlons, dans les cavités de l'oreille quand nous écoutons.
Lorsque deux trains d'onde, de même longueur d'onde et de même intensité mais se propageant en directions opposées se rencontrent, il résulte une distribution de noeuds, où la résultante est nulle et, à mi-chemin entre eux, des ventres où la résultante est maximum.
L'ensemble des points situés entre deux noeuds oscille en phase, chacun avec sa propre amplitude.
Il n'y a aucun transfert d'énergie d'un fuseau à un autre.

Explication de l'applet :
Les boutons et les barres de défilement permettent de modifier les paramètres de l'onde incidente et de sélectionner le type de réflexion.
Si c'est une réflexion "dure", le point de réflexion sera un noeud de l'onde stationnaire alors que dans le cas d'une rééflexion "molle" ce point correspondra à un ventre.
En bas, nous visualisons l'énergie de l'onde incidente, puis de l'onde stationnaire, qui correspond au carré de son amplitude.
Un clic dans la zone graphique met l'animation en pause, un autre clic la fait redémarrer.

Ondes stationnaires résonantes :

     Dans un milieu continu illimité, toutes les fréquences peuvent faire apparaître des ondes stationnaires. Cependant, si les ondes sont confinées dans l'espace, des ondes stationaires résonantes ne peuvent être créées que pour certaines valeurs discrètes de la fréquence.
Les conditions aux limites nous donnent les valeurs de ces fréquences (de résonances) :
    Y_s(0,t) = Y_s(L,t) = 0      si les extrémités sont fixes     (Y_s(L,t) = 2A      pour une extrémité libre)
où L est la longueur de la cavité
d'où     sin(kL)= 0   =>   kL= n.p      avec n entier
Soit :      l_n = 2L/n      ou encore     f_n = nv/2L     où v est la vitesse de l'onde incidente.
f₁ est appelée fréquence fondamentale et f_n pour n>1 est la n^ième harmonique.
Chaque configuration d'onde stationnaire résonante est un mode d'oscillation propre.

Exemples :

    Lorsqu'on pince une corde, on entend le son fondamental et un certain nombre d'harmoniques. Le nombre et les intensités relatives des harmoniques déterminent la qualité sonore d'une note musicale et permettent de faire une distinction de timbre entre deux instruments qui jouent la même note fondamentale. On peut ainsi dire que se sont les impuretés d'une note qui rendent le son agréable à l'oreille.
    On peut également produire des ondes stationnaires résonnantes dans une colonne d'air, comme un tuyau d'orgue, dans une flûte et dans d'autres instruments à vent, parce que les ondes sonores se réfléchissent à l'extrémité fermée et à l'extrémité ouverte d'un tuyau. En effet, une onde sonore est partiellement réfléchie et partiellement transmise lorsque l'aire de la section transversale varie brusquement.

    Le système vocal humain, formé par le larynx, le pharynx, les cavit´s buccales et nasales, peut être considéré comme un tuyau sonore ouvert à une extr´mité (la bouche) et fermé à l'autre où sont les cordes vocales. Le son est essentiellement produit par les cordes vocales et amplifié par ce tuyau qui devient le siège d'ondes stationnaires. Contrairement aux instruments de musique, ce tuyau change de forme. Quand la note fondamentale engendrée par les cordes vocales s'accorde sur l'une des fréquences de résonance de la cavité vocale, l'amplitude de la note est considérablement amplifiée. C'est ce que sait faire un chanteur entraîné.

Le sifflement des haut-parleurs : l'effet Larsen. Ce qui suit est emprunté à la référence ci en bas.
    "Imaginons-nous dans une salle de concert, le microphone du chanteur capte le son de sa voix mais aussi les bruits de la salle. Suivant la position du micro dans la salle, ces bruits peuvent Ítre particulierement amplifiés puis réemis par les haut-parleurs, on parle de contre-réaction positive. C'est cette auto-excitation que l'on nomme "effet Larsen".
Explication :
    Le son réflechi par les murs forme des ondes stationnaires dans la salle, et pour certaines fréquences, ces ondes entreront en résonance.
Des harmoniques d'ordre 2, 3, etc., dont la fréquence est 2, 3, etc. fois supérieure à la fréquence fondamentale se superposent et créent à des endroits différents noeuds et ventres de vibration. Un micro placé dans un noeud ne capte pas les ondes stationnaires; placé à l'endroit d'un ventre il sera sensible à l'auto-excitation. Le système de sonorisation s'excitera donc à un des sons caractéristiques de la salle et, suivant la position du micro ce son peut être grave ou aigu. La longueur d'onde d'un son grave est grande, l'installateur de la sonorisation pourra donc plus facilement éviter l'émission de grondements forts par les haut-parleurs. Par contre, noeuds et ventres de l'oscillation d'un son aigu sont rapprochés, et le moindre déplacement du micro dans la salle bruyante suffit pour déclencher l'autoexcitation.
Paradoxalement, si l'orateur forme un entonnoir avec ses mains autour du micro pour protéger des bruits de la salle, ses mains, distantes de quelques centimetres forment un résonateur d'une demi-longueur d'onde et déclenche ainsi un sifflement d'au moins 2000 Hz."

Vocabulaire  :

• Timbre : Une note d'instrument de musique est la superposition d'un son fondamental et de sons de plus hautes fréquences qui diffèrent plus ou moins des multiples entiers de la fréquence du fondamental appelés "harmoniques naturels". Ce sont ces harmoniques naturels qui nous permet de distinguer une même note jouée par différents instruments, cette sensation auditive est le timbre.
• Hauteur du son : Un son est dit haut lorsqu'il est per¸u aigu, c'est à dire de fréquence assez élevée.
  
• Onde plane progressive monochromatique (OPPM) :
  Une onde est dite plane si, à un instant donné, la grandeur caractérisant l'onde qui se propage est la même en tout point d'un plan perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde. Ici, nous nous limiterons à la propagation des ondes à une seule direction d'espace, ces ondes sont donc planes.
  Une onde plane progressive est une onde plane qui se propage dans une direction et un sens bien déterminé.
  Elle s'écrit de la fa¸on suivante : Y (x,t) = f(u) où u = t - x/c dans le cas d'une onde plane progressive se propageant à la vitesse c dans le sens des x croissants.
  L'adjectif monochromatique signifie que l'onde n'est constitué que d'une fréquence. Pour les ondes électromagnétiques du domaine du visible, la sensation de couleur associée à la perception de la lumière par l'oeil est lié à la fréquence de l'onde : à une fréquence précise correspond une couleur donnée dans le spectre visible, allant du rouge au violet. Par extension, il est d'usage de dire qu'une onde de fréquence bien définie, est une onde monochromatique.
  
  Ces OPPM sont des solutions de l'équation de propagation unidimensionnelle de d'Alembert :
  Nous cherchons donc, en notation complexe, une solution de la forme Y (x,t) = j (x)e^jwt
  L'équation de propagation, vérifiée pour tout t, impose :
  
  dont la solution générale est de la forme :
  j (x) = Y ₁e^-jkx + Y ₂e^jkx
  avec Y ₁ = Y ₁e^jq1 et Y ₂ = Y ₂e^jq2
  Où nous avons noté k = w/c (k est parfois appelé nombre d'onde).
  Les solutions sinusoidales recherchées sont donc de la forme :
  Y (x,t) = Y ₁e^{j(wt - kx)} + Y ₂e^{j(wt + kx)},
  soit en notation réelle :
  Y (x,t) = Y ₁cos(wt - kx + q1) + Y ₂cos (wt + kx + q2).
  La solution générale s'écrit donc comme la superposition de deux OPPM se propageant dans des sens opposés.

Voici quelques liens pour compléter cette page :

• Animation sur les ondes élastiques (longitudinales et transversales)
  
• page sur les ondes stationnaires de pression
  
• page sur les ondes partiellement stationnaires
  
• Onde électrique stationnaire
  
• Cours théorique sur les ondes stationnaires (niveau DEUG)
  

Bibliographie :

• "Physique" de Eugene HECHT aux éditions DeBoeck Université, ISBN : 2-7445-0018-6
• "Physique" de Harris BENSON aux éditions DeBoeck Université, ISBN : 2-8041-3142-4
• "La Physique de tous les jours" de Istvan BERKES aux éditions Vuibert, ISBN : 2-7117-5238-0

Page réalisée par Arnaud Fournier et William Fourcault, étudiants de l' Université de Bourgogne en maîtrise de Physique et applications, dans le cadre d'un Travail d'Etudes et de Recherche (2000 - 2001) encadré par Claudine Pierre.

Publication de Juin 2001.